(926)274-88-54
Бесплатная доставка.
Бесплатная сборка.
График работы:
Ежедневно. С 8-00 до 20-00.
Почта: soft_hous@mail.ru
|
|
Звоните! (926)274-88-54 Бесплатная доставка. Бесплатная сборка. |
Ассортимент тканей График работы: Ежедневно. С 8-00 до 20-00. Почта: soft_hous@mail.ru |
  
|
Читальный зал --> Программные средства foundation По теореме Т14 получаем: [F(W,X,Y,Z)] = ((Wy + X) (X + YO (W + ((XO (Z)0)-Используя теорему Т4, последнее выражение можно упростить: [F(W,X, Y,Z)] = (W + X) (X + YO (W + (X Z)). В самом общем случае теорема Т14 позволяет находить дополнение заютю-ченного в скобки выражения путем замены + на и наоборот, взятия дополнений переменных, не помеченных знаком дополнения (), и опускания этого знака у переменных, дополнения которых фигурируют в исходном выражении. Обобщенную теорему Де Моргана Т14 можно доказать, убедивщись в том, что все логические функции можно записать либо в виде суммы, либо в виде произведения подфункций, и применяя затем рекурсивно теоремы Т13 и Т13. Однако более информативным и более убедительным является доказательство на основе принципа двойственности, который сейчас будет объяснен. 4.1.5. Двойственность Все аксиомы алгебры переключений были сформулированы попарно. Каждая аксиома, помеченная штрихом (например, А5) получается из аксиомы, не помеченной штрихом (например, А5), в результате того, что О и 1 меняются местами, и то же самое происходит со знаками и +, если таковые имеются. Таким образом, мы приходим к следующей метатеореме {metatheorem), то есть к теореме о теоремах: Принцип двойственности: Любая теорема или тождество алгебры переключений остаются справедливыми, если повсюду меняются местами О и 1 и знаки и +. Метатеорема верна, поскольку истинными являются все утверждения, двойственные по отношению к аксиомам; следовательно, все утверждения, двойственные по отношению к теоремам алгебры переключений, можно доказать, используя двойственные аксиомы. В конце концов, что значат имена и символы, если уж на то пошло? Если бы в программном обеспечении, с помощью которого была набрана эта книга, была ошибка, в результате чего повсюду в этой главе О и 1 и знаки + и поменялись бы местами, то вы научились бы той же самой алгебре переключений; разве что терминология окажется при этом немного странной, потому что слова типа произведение будут употребляться для описания операций со знаком + . Двойственность важна, потому что она удваивает полезность всего, что вы узнаете об алгебре переключений и о преобразованиях функций, относящихся к переключениям. Практическая ценность этого, со студенческой точки зрения, состоит в том, что учить надо только половину всего необходимого! Например, вь1учив однажды, как по выражениям вида сумма произведений синтезировать двухуровневые логические схемы И-ИЛИ, вы автоматически осваиваете двойственный метод синтеза схем ИЛИ-И по выражениям вида произведение сумм . В алгебре переключений существует все же одно принятое условие, когда знаки и + не считаются равноправными, так что принцип двойственности не обя- зательно оказывается верным. Можете догадаться, о чем идет речь до того, как прочитаете приведенный ниже ответ на этот вопрос? Рассмотрите утверждение теоремы Т9 и вам станет ясной абсурдность двойственного утверждения : X + X Y = X (теорема Т9), X X + Y = X (в результате применения принципа двойственности), X + Y = X (согласно теореме ТЗ). Очевидно, что последняя строка в этих выкладках не верна. Где мы поступили неправильно? Проблема заключается в старшинстве операторов. Мы могли записать левую часть равенства в первой строке без скобок согласно условию, что у оператора более высокий приоритет. Но коль скоро мы применяем принцип двойственности, нам следовало бы вместо этого назначить больший приоритет оператору + или записать вторую строку в виде: X (X + Y) = X. Лучший способ избегать подобных затруднений состоит в том, чтобы до применения принципа двойственности записывать исходное выражение со скобками. Давайте дадим формальное определение двойственному логическому выражению {dual of а logic expression). Если F(Xi, Хг,..., Хя, +, ,) логическое выражение, содержащее переменные Xi, Хг,..., Хя и операторы +, и, и такое, что в нем проставлены все необходимые скобки, то выражением, двойственным по отношению к F, которое мы будем обозначать F°, является то же самое выражение при условии, что знаки + и поменяны местами: F°(XbХг,Хя,+ ,-,) = F(X Х2,Хя, , + ,). Вы уже знаете это, конечно, но мы специально привели данное определение в такой форме, чтобы подчеркнуть близость двойственности и обобщенной теоремы Де Моргана Т14, утверждение которой мы можем теперь представить в виде: [F(X Хг,..., Хя)] = Р(Х Хг,..., ХяО- Давайте проверим справедливость этого утверждения на примере физической цепи. На рис. 4.5(a) приведена таблица, описывающая функцию, реализуемую логическим элементом, с точки зрения электрических потенциалов на его входах и выходе; этот логический элемент назовем просто вентилем 1-го типа . Z =Х-Y I гип- -Z =X + V
Рис. 4.5. Логический вентиль 1-го типа : (а) таблица, описываюшдя работу схемы с точки зрения уровней напряжения на входах и выходе; (Ь) таблица с логическими значениями на входах и выходе и условное обозначение в положительной логике; (с) таблица с логическими значениями на входах и выходе и условное обозначение в отрицательной логике В положительной логике [низкий уровень (LOW) соответствует О, высокий уровень (HIGH) -1 ] - это вентиль И, но в отрицательной логике (LOW = 1, HIGH = 0) - это вентиль ИЛИ, как это видно из рис. (Ь) и (с). Можно представить себе также некий вентиль 2-го типа (рис. 4.6), который в положительной логике является схемой ИЛИ, а в отрицательной логике - схемой И. Подобные таблицы можно составить для вентилей с числом входов больше двух. тип 2 тип- -Z =Х +Y тип 2- Z =Х-Y
Рис. 4.6. Логический <вентиль 2-го типа : (а) таблица, описывающая работу схемы с точки зрения уровней напряжения на входах и выходе; (Ь) таблица с логическими значениями на входах и выходе и условное обозначение в положительной логике; (с) таблица с логическими значениями на входах и выходе и условное обозначение в отрицательной логике Предположим, что вам задано произвольное логическое выражение F(Xi, Х2,Хя). Действуя по правилам положительной логики, вы можете построить схему, соответствующую этому выражению, используя инверторы для операций НЕ, вентили 1-го типа для операций И и вентили 2-го типа для операций ИЛИ, как показано на рис. 4.7. Пусть теперь, не изменяя схемы, мы совершаем переход от положительной логики к отрицательной. Тогда мы должны будем заново нарисовать нашу схему так, как это сделано на рис. 4.8. ]iv-=S>--{>- тип - г-D
тип - F(X,.,X2.....Х ) Рис. 4.7. Схема, реализующая некоторую логическую функцию с помощью инверторов и вентилей 1-го и 2-го типа по правилам положительной логики Ясно, что при любой возможной комбинации входных напряжений (высоких и низких уровней) напряжение на выходе схемы останется тем же самым. Однако, с точки зрения алгебры переключений, значение выходного сигнала - О или 1 -во второй схеме противоположно тому, что имело место при положительной логике. Но точно так же противоположным становится и значение каждого вход- ООО «Мягкий Дом» - это Отечественный производитель мебели. Наша профильная продукция - это диваны еврокнижка. Каждый диван можем изготовить в соответствии с Вашими пожеланияи (размер, ткань и материал). Осуществляем бесплатную доставку и сборку. Звоните! Ежедневно! (926)274-88-54 Продажа и изготовление мебели. Копирование контента сайта запрещено. Авторские права защищаются адвокатской коллегией г. Москвы. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||